النظرية:¶
يستخدم تحويل فورييه لايجاد المجال الترددي للمرشحات , وكذلك تحويل فورريه المتقطع DFT للصور لنقلها للمجال الترددي , ولكن يتم تطبيقه عبر خوارزمية FFT,
مثلاً , لاشارة ,$x(t)=A sin(2\pi ft)$ يمكننا القول ان $f$ هو تردد الاشارة , وعند التحويل للمجال الترددي نرى نبضة في موضعها . واذا اعتبرنا الصورة نبضة ذات بعدين , فانه عند تحويلها للمجال الترددي نحصل على تمثيل آخر لها.
وحدسياً , اذا لاحظنا موجة سريعة التغير فسيكون محتواها الترددي مرتفعاً والا سيكون منخفضاً , اذا كانت بطيئة التغير , وهذا ايضاً ينطبق على الصور , فالصور ذات المحتوى المرتفع التغير , كالحواف او الضجيج تشكل ترددات عالية , والا منخفضة ..
الان لنرى كيفية حساب تحويل فورييه.
تحويل فورييه في Numpy:¶
اولا التابع المسؤول عن تحويل فورييه هو : np.fft.fft2 الذي يعطينا التحويل الترددي كمصفوفة عقدية . ودخله الاول هو صورة الدخل ,و دخله الثاني كيفي وهو حجم الخرج , حيث يتم اما تمديد الصورة باصفار أو قص الصورة , حسب الحجم , المرغوب ,والا يؤخذ نفس حجم الصورة في الدخل ,
وبعد ان تحصل على النتيجة , فان التردد الصفري للمركبة الثابتة سيتموضع في الزاوية العليا اليسرى , ولذلك نحتاج لازاحته للمركز وذلك بازاحته بمسافة $\frac N2$ في كلا الاتجاهين . وذلك عبر التابع np.fft.fftshift لسهولة التحليل , وبعد ذلك يجب علينا ايجاد طويلة الطيف كالتالي
import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
%matplotlib inline
img = cv2.imread('apple.png',0)
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
magnitude_spectrum = 20*np.log(np.abs(fshift))
plt.figure(figsize = (10,5))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
والمحتوى الابيض بالقرب من المركز يبين ان الترددات المنخفضة هي السائدة.
وبعد ايجاد التردد يمكنك القيام بعدة عمليات مثل اخذ التردد و الضرب بقناع كمرشح الترددات العالية , ويتم ذلك ببساطة بضرب الناتج بمستطيل في المركز يقياسات مناسبة , وبعدها تطبيق الازاحة العكسية np.fft.ifftshift حيث تعود الصورة لمكانها , وبعدها نطبق تحويل فورييه العكسي , np.ifft2 . والنتيجة ستكون ايضاً عدداً عقدياً , حيث يمكننا اخذ القيم المطلقة منه.
راقب الكود التالي:
rows, cols = img.shape
crow,ccol = rows/2 , cols/2
# حذفنا الترددات المنخفضة
fshift[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = np.fft.ifft2(f_ishift)
img_back = np.abs(img_back)
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(131),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(132),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Image after HPF'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(133),plt.imshow(img_back)
plt.title('Result in JET'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
نلاحظ نظرياً , وكأنه تم اشتقاق الحواف من الصورة , بسبب المرشح ذو التمرير العالي , وهذا تم من خلال Numpy اما فيما يلي فسنقوم بنفس الشيء انما في OpenCV.
واذا لا حظت بالصور الناتجة , هناك عدا الحواف نقاط ضجيج اخرى , وذلك بسبب تأثير النافذة المربعة , والذي يدعى تأثير الاهتزاز ringing_effect وهذا يتم تجاوزه باستخدام اشكال اخرى للمرشحات كالغاوسي.
تحويل فورييه في OpenCV:¶
openCV يقدم التابعين cv2.dft , cv2.idft لهذا ويعيد نفس السابق انما بقناتين كل منهما تمثل القسم الحقيقي والتخيلي , كل على حدا, وصورة الدخل يجب ان تكون بالصيغة np.float32
img = cv2.imread('opencv_ios.png',0)
dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)
magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(
dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
ملاحظة :¶
يمكنك استخدام cv2.cartToPolar والذي يعيد كل من الطويلة والزاوية معاً..
والان سنرى التحويل العكسي , وبما انه تم سابقاً , اظهار المرشح ذو التردادات المرتفعة , نقوم الان بانشاء مرشح لتمرير التردادات المنخفضة (تغبيش الصورة)بجعله يمرر الترددات بالوسط كالتالي:
rows, cols = img.shape
crow,ccol = rows/2 , cols/2
# create a mask first, center square is 1, remaining all zeros
mask = np.zeros((rows,cols,2),np.uint8)
mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1
# apply mask and inverse DFT
fshift = dft_shift*mask
f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)
img_back = cv2.idft(f_ishift)
img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1])
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
ملاحظة: كالعادة , فتوابع OpenCV اسرع من نظرائهم في Numpy ولكن الاخيرة اكثر مقروئية.
في الفقرة الاخيرة سوف نبحث سؤالاً اضافياً
لماذا القناع اللابلاسي هو مرشح ترددات عالية؟¶
هذا السؤال تم طرحه مسبقاً وايضا لماذا Sobel هو HPF ? الاجابة كانت بدلالة تحويل فورييه , بما ان القناع في المجال الزمني فتحويله للمجال الترددي سيوضح سلوكه , كالتالي:
# simple averaging filter without scaling parameter
mean_filter = np.ones((3,3))
# creating a guassian filter
x = cv2.getGaussianKernel(5,10)
gaussian = x * x.T
# different edge detecting filters
# scharr in x-direction
scharr = np.array([[-3, 0, 3],
[-10,0,10],
[-3, 0, 3]])
# sobel in x direction
sobel_x= np.array([ [-1, 0, 1],
[-2, 0, 2],
[-1, 0, 1]])
# sobel in y direction
sobel_y= np.array([ [-1,-2,-1],
[0, 0, 0],
[1, 2, 1]])
#laplacian
laplacian=np.array([[0, 1, 0],
[1,-4, 1],
[0, 1, 0]])
filters = [mean_filter, gaussian, laplacian, sobel_x,
sobel_y, scharr]
filter_name = ['mean_filter',
'gaussian','laplacian',
'sobel_x', \
'sobel_y', 'scharr_x']
fft_filters = [np.fft.fft2(x) for x in filters]
fft_shift = [np.fft.fftshift(y) for y in fft_filters]
mag_spectrum = [np.log(np.abs(z)+1) for z in fft_shift]
plt.figure(figsize=(10,5))
for i in xrange(6):
plt.subplot(2,3,i+1),plt.imshow(mag_spectrum[i],cmap = 'gray')
plt.title(filter_name[i]), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()
من الصور الناتجة , يمكننا بوضوح تقرير ما اذا كان المرشح , ممررا للتردادات المنخفضة ام العالية بوضوح..
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق